Le nombre π et ses mystères

Qui n'a jamais séché sur les bancs de l'école, lorsque au cours de maths, on passait à la géométrie, aux surfaces, aux volumes, etc. Ah ! Qu'est-ce que ce prof nous en faisait voir ! Et puis, avec son fameux π, la vache !
Il faut croire que de très nombreux élèves ont été confrontés à ce même genre de problème et depuis fort longtemps déjà. Mais de quand date le nombre π ? Quel est le "scrôgneugneu" qui l'a inventé ? Et au fait, ce nombre a t'il une histoire ? C'est ce que nous allons voir !

Pour ce qui est de π... il y a bien pis !

L'histoire de π, où quand on va de π en π...
c'est de mieux en mieux !

Avant toute chose, il est bon de se rappeler que π vaut 3.141592654 (les décimales continuent mais vous les connaissez aussi bien que nous...)

Pour ceux qui s'inquiètent, à juste titre, de l'apparition de π sur terre, disons que ce nombre est connu depuis la plus haute antiquité. Pourtant, il faut y apporter une précision. En effet, s'il était connu en tant que rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle ou de l'aire du disque (que les Beatles ont révolutionnée, je sais !), en revanche, les gens de cette époque ne connaissaient pas ce nombre comme notion abstraite de constante mathématique).

Il faut dire aussi que ce n'est qu'en 1882 que l'on a pu faire la démonstration de ce que π était un nombre transcendant (solution à aucune équation à coefficients rationnels) et puisque c'est Lindemann qui l'a dit...

Cela signifie, plus clairement, que ce nombre n'est pas constructible à la règle et au compas. Autrement dit, car j'en vois qui froncent les sourcils (là bas, dans le fond, à côté du radiateur...), cela veut dire que si vous voulez coller quelqu'un vous pouvez toujours lui proposer la quadrature du cercle.

Il s'agit d'un problème insoluble (quel que soit le liquide dans lequel on le plonge). Cela consiste, si vous avez envie de vous amuser avec des π, à construire un carré qui aurait la même aire qu'un disque de rayon donné, mais en ne vous servant que des deux ustensiles cités plus haut.

En 2000 avant Jésus Christ, les Babyloniens connaissaient déjà π (mais leur π était moins bon que le nôtre car il s'agissait d'une valeur approchée (3.125). Pour eux, il s'agissait uniquement du rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, mais ils ignoraient l'objet mathématique (c'était le bon temps, quoi !). Comme les Babyloniens calculaient en base 60 ils faisaient le calcul suivant pour obtenir leur π tout en faisant de leur mieux :
3 + 7/60 + 30/3600, ou 3 + 1/8 = 3.125

Nous supposons que cette approximation devait avoir des conséquences fâcheuses sur la tenue de route de leurs chars.

Aux alentours de 1650 avant notre ère, le papyrus de Rhind, écrit comme chacun sait par le scribe Ahmès, possession d'un écossais du même nom (le papyrus, pas le scribe) et conservé au British Museum, nous indique que les Égyptiens connaissaient le nombre π, avec une valeur de 3.16, ce qui est déjà mieux pour π. Ce papyrus est intéressant à plus d'un titre car il constitue le plus vieux traité de mathématiques du monde, il comportait quatorze feuilles et mesurait initialement plus de 5 mètres de long sur 32 cm de large. Son contenu dévoile déjà de grandes connaissances en matière de calcul et pas seulement pour la construction de pyramides, mais aussi pour le volume des greniers à grains, les aires planes, l'arpentage, la décomposition des fractions, les équations...

NDLR : Les présentes pages traitant de π ont été lues en classe de 6ème préparatoire de l'Athénée Royal Jules Bordet de Soignies, par Mme Brancale (année scolaire 2006-2007) et ont provoqué d'une part un fou rire général face aux traits d'humour ici présents, d'autre part un intérêt accru des élèves, lesquels se souviendront sans doute désormais de John Machin (voir ci-dessous) et verront peut-être le calcul de la circonférence du cercle avec moins de dé-π...
Merci à Mme Brancale !

Les π et autres Machins

Ce qui paraît assez étrange, c'est la suite de l'évolution du nombre π et son apparition dans le monde, surtout si l'on compare avec la valeur qu'on lui donnait. Ainsi, π apparaît en Chine vers 1200 avant J.C. avec la valeur 3. Il est assez étonnant que, 350 ans plus tard que les Égyptiens, les Chinois aient "rétrogradé" dans l'approximation. Cela suppose donc que leur découverte, pour importante qu'elle soit, ait été totalement indépendante du reste du monde et qu'ils calculaient moins bien. Néanmoins, nous supposons que l'on peut mettre l'indépendance en question sur les difficultés de transport de l'époque. Mais, rebelote, en 550 avant J.C., la Bible en parle, avec la même valeur, soit 3. Là, les choses deviennent plus étonnantes encore quand on connaît les accointances entre la Rome antique et l'Égypte. Ainsi donc, la belle Cléopâtre n'aurait pas soufflé mot au bon Jules César de certaines précisions capitales. Ah ! Les femmes !

Il faut encore attendre trois siècles pour que Archimède, entre deux bains, donne l'encadrement 223/71 < pi < 22/7 en 250 avant J.C et que Ptolémée en 150 utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.

Mais revenons en Chine, plus particulièrement au Ve siècle pour obtenir alors une valeur de π de 355/113 (il fallait le trouver aussi) ce qui donne : 3.14159292. On voit qu'indéniablement la valeur s'affine pour π (phrase redoutable pour les contrepèteries !) Mais les choses demeurent inégales puisque si l'on consulte la situation en Inde, on voit que le 3.1416 est obtenu par 3 + 177/1250 mais en 380 et que, dans le coin, il faut attendre 640 pour que Brahmagupta atteigne les 3,16227 via la racine carrée de 10, ce qui semble aussi une régression puisque 3.1416 - π = 0.000007 et que 3.16227 - π vaut 0.0206. Heureusement pour lui, disons quand même que, dans le chapitre 18 du Brahma-sphuta-siddhanta, le savant traite des différentes opérations avec le zéro qu'il définit comme le résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, des nombres irrationnels, des équations quadratiques, des équations à plusieurs inconnues et des solutions partielles d'équations du second degré à deux inconnues. L'ouvrage atteindra Bagdad grâce à al-Fazari qui le traduit en arabe vers 771 sous le titre de Al-Zij al-Sindhind al-kabir. L'introduction de ces nouveaux concepts mathématiques aura une grande répercussion sur la science dans le monde musulman des VIIIe et IXe siècles.
Les choses commencent toutefois à progresser si l'on remonte le fil du temps et que l'on s'en va d'abord au Moyen-Orient où Al Khwarizmi en 800 (en Ouzbekistan) et Al Kashi en 1429 (au Turkestan) calculent 14 décimales de π
Si on considère la situation en Europe, on retombe sur les mêmes inégalités dans le savoir puisque. Fibonacci (retenez bien ce nom, qui, nous en sommes sûrs, vous dit déjà quelque chose !), en 1220, trouve la valeur 3,141818, que le Hollandais Van Ceulen trouve 20 décimales en 1596 puis 34 en 1609 !), tandis qu'en France Viète se contente de 9 décimales mais en 1593. On comprend mal, là aussi, cette différence négative de 11 décimales dans la précision de π à trois années d'intervalle et avec une telle proximité géographique. Faut-il en conclure que tout le monde ne recevait donc pas "Sciences et Vie" à l'époque ou qu'il y eut une grève des postes à ce moment précis ?

Par la suite, l'intérêt décroît en ce qui concerne l'évolution du nombre π car les techniques de calcul se développent considérablement, notamment avec celui des dérivées, des intégrales, et de toutes ces douceurs que l'on nous servait à l'école et qui ont laissé une trace indélébile sur notre sensibilité intra-moléculaire. Nous ne vous citerons donc plus les noms des illustres π-onniers de la géométrie, sauf dans le cas bien précis suivant, assez étonnant d'ailleurs, et qui méritait qu'on le signale : en 1706, c'est un certain "Machin" (ça ne s'invente pas et c'est rigoureusement exact !) qui trouva 100 décimales au nombre en question !
John Machin est un mathématicien assez peu connu. Il est né en 1680 et fut professeur d'astronomie à Londres. Il découvre en 1706 la formule =16arctan(1/5)-4arctan(1/239), ce qui, grâce au développement en série entière de arctan connu depuis Grégory, lui permet d'obtenir la formule ci-dessus... Mais Machin a joué un grand rôle, d'abord parce que ce fut le premier à calculer 100 décimales au moyen de sa formule, ce qui n'est tout de même pas rien, mais surtout parce qu'il a ouvert la voie à la recherche de formules d'arctan...
Plus récemment encore et à l'aide de procédés encore plus sophistiqués, les frères Chudnovsky ont trouvé 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Tamura, dont le dernier record datait de 1999 avec 206 milliards de décimales ont fait mieux (du moins Kanada) le 6 décembre 2002 : 1 241 100 000 000 décimales. Mais, faut-il le dire (hé bien oui, apparemment !), il s'agissait en fait d'un travail d'équipe, réalisé à l'aide d'un calculateur (on aurait été surpris qu'il s'agisse d'un micro-ondes) qui a duré 400 heures et cela malgré l'utilisation d'un algorithme que l'équipe avait mis cinq ans à mettre au point.

John Machin

(1680 - 1751) est connu principalement pour avoir calculé en 1706 100 décimales de pi grâce à la formule qui porte son nom, la formule de Machin :

Biographie

John a été ami avec Keill, qui enseigna à Oxford, et avec De Moivre qui a été comme Machin, un enseignant privé de mathématique en ce temps-là